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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.9. Estudiar continuidad y derivabilidad en x0x_{0} de las siguientes funciones.
d) f(x)={x14sin⁡(x)x+2 si x>00 si x≤0;x0=0f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{\frac{1}{4}} \sin(x)}{x+2} & \text { si } & x>0 \\ 0 \quad \text { si } & x \leq 0\end{array} ; x_{0}=0\right.

Respuesta

Arrancamos estudiando continuidad\textbf{continuidad} en x0=0 x_0 = 0 :
Verificamos las tres condiciones necesarias para que f(x) f(x) sea continua en x=0 x = 0 : a) f(0)=0 f(0) = 0 b) Calculamos el límite de f(x) f(x) cuando x x tiende a 00. En este caso es necesario abrir el límite por derecha y por izquierda:

lim⁡x→0−0=0 \lim_{{x \to 0^-}} 0 = 0
lim⁡x→0+x14sin⁡(x)x+2=0 \lim_{{x \to 0^+}} \frac{x^{\frac{1}{4}} \sin(x)}{x+2} = 0 (el numerador tiende a 0, por cero x acotada, y el denominador tiende a 2)

Los limites laterales coinciden, por lo tanto el límite existe y vale 00.

c) El límite cuando xx tiende a 00 existe y vale lo mismo que f(0)f(0), por lo tanto, ff es continua en x=0x=0

Estudiamos ahora derivabilidad\textbf{derivabilidad} en x0=0 x_0 = 0 :

Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener f′(0)f'(0), ya que queremos calcular la derivada justo en el xx donde la función se parte. f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}

Tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:

Para el límite por izquierda cuando h→0− h \to 0^- :
lim⁡h→0−f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0−0−0h=0 \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{0 - 0}{h} = 0

Para el límite por derecha cuando h→0+ h \to 0^+ :

lim⁡h→0+f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0+h14sin⁡(h)h+2−0h=lim⁡h→0+h14sin⁡(h)(h+2)h \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{\frac{h^{\frac{1}{4}} \sin(h)}{h+2} - 0}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{\frac{1}{4}} \sin(h)}{(h+2)h}

Fijate que lim⁡h→0+sin⁡(h)h=1\lim_{{h \to 0^+}} \frac{\sin(h)}{h} = 1 y lim⁡h→0+h1/4h+2=0\lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{1/4}}{h+2} = 0

Por lo tanto:

lim⁡h→0+h14sin⁡(h)(h+2)h=0\lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{\frac{1}{4}} \sin(h)}{(h+2)h} = 0

Los límites por derecha y por izquierda coinciden y valen 00, por lo tanto, f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=0 f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 0 Esto significa que ff es derivable en x=0x=0 y f′(0)=0f'(0) = 0
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Manuel
6 de septiembre 11:44
Hola, una consulta, podrias expandir sobre lo que hiciste al final del limite? Como podria justificar el "separarlo en 2", y tambien queria saber por que sin(h)/h=1
0 Responder
Flor
PROFE
6 de septiembre 19:15
@Manuel Hola Manuel! Acá te expandí un poco en la tablet lo que hicimos en el último paso. O sea, lo único que hacemos es reescribir un poco esa expresión, y nos damos cuenta que un pedacito tiende a 1 y el otro tiende a 0, entonces por álgebra de límites te queda algo que tiende a 0 multiplicando a algo que tiende a 1, así que 0×1=00 \times 1 = 0 y por eso el límite da cero. 

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Con respecto al "límite especial", fijate que yo acá lo estuve nombrando únicamente en las guías resueltas (la realidad es que después en el parcial, en breve, no lo vas a terminar usando, pasa cuanto antes a derivadas, de ahí sale más de la mitad del parcial). En este punto simplemente lo tomamos como un límite conocido, y cuando vos te encontras con eso sabés que tiende a 1. 

Vas a ver que en la primer clase de L'Hopital voy a usar este límite como ejemplo y vamos a ver cómo usando L'Hopital al toque te das cuenta que vale 1. Además, este límite se puede demostrar que vale 1 usando argumentos de trigonometría. Si te interesa podés ver la demo, acá por ejemplo está explicada en este apunte (arranca en la pág 30) -> https://bit.ly/3IcZpWK

Igual repito, yo pasaría cuanto antes a derivadas (acá en la guía de UBA XXI en breve empiezan a aparecer unos límites horribles para resolver sin L'Hopital y no tienen nada que ver con el enfoque de los parciales de los últimos años) 
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