Volver a Guía
Ir al curso
@Manuel Hola Manuel! Acá te expandí un poco en la tablet lo que hicimos en el último paso. O sea, lo único que hacemos es reescribir un poco esa expresión, y nos damos cuenta que un pedacito tiende a 1 y el otro tiende a 0, entonces por álgebra de límites te queda algo que tiende a 0 multiplicando a algo que tiende a 1, así que $0 \times 1 = 0$ y por eso el límite da cero.
1
Responder
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
CABANA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.9.
Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones.
d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{\frac{1}{4}} \sin(x)}{x+2} & \text { si } & x>0 \\ 0 \quad \text { si } & x \leq 0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{\frac{1}{4}} \sin(x)}{x+2} & \text { si } & x>0 \\ 0 \quad \text { si } & x \leq 0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
Respuesta
Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 0 \):
Reportar problema
Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \):
a) \( f(0) = 0 \)
b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $0$. En este caso es necesario abrir el límite por derecha y por izquierda:
\( \lim_{{x \to 0^-}} 0 = 0 \)
\( \lim_{{x \to 0^+}} \frac{x^{\frac{1}{4}} \sin(x)}{x+2} = 0 \) (el numerador tiende a 0, por cero x acotada, y el denominador tiende a 2)
Los limites laterales coinciden, por lo tanto el límite existe y vale $0$.
c) El límite cuando $x$ tiende a $0$ existe y vale lo mismo que $f(0)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=0$
Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en \( x_0 = 0 \):
Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(0)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte.
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \)
Tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
Para el límite por izquierda cuando \( h \to 0^- \):
\( \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{0 - 0}{h} = 0 \)
Para el límite por derecha cuando \( h \to 0^+ \):
\( \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{\frac{h^{\frac{1}{4}} \sin(h)}{h+2} - 0}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{\frac{1}{4}} \sin(h)}{(h+2)h} \)
Fijate que $\lim_{{h \to 0^+}} \frac{\sin(h)}{h} = 1$ y $\lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{1/4}}{h+2} = 0$
Por lo tanto:
$\lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{\frac{1}{4}} \sin(h)}{(h+2)h} = 0$
Los límites por derecha y por izquierda coinciden y valen $0$, por lo tanto,
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 0 \)
Esto significa que $f$ es derivable en $x=0$ y $f'(0) = 0$
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar
tu
comentario.
Manuel
6 de septiembre 11:44
Hola, una consulta, podrias expandir sobre lo que hiciste al final del limite? Como podria justificar el "separarlo en 2", y tambien queria saber por que sin(h)/h=1
Flor
PROFE
6 de septiembre 19:15
Con respecto al "límite especial", fijate que yo acá lo estuve nombrando únicamente en las guías resueltas (la realidad es que después en el parcial, en breve, no lo vas a terminar usando, pasa cuanto antes a derivadas, de ahí sale más de la mitad del parcial). En este punto simplemente lo tomamos como un límite conocido, y cuando vos te encontras con eso sabés que tiende a 1.
Vas a ver que en la primer clase de L'Hopital voy a usar este límite como ejemplo y vamos a ver cómo usando L'Hopital al toque te das cuenta que vale 1. Además, este límite se puede demostrar que vale 1 usando argumentos de trigonometría. Si te interesa podés ver la demo, acá por ejemplo está explicada en este apunte (arranca en la pág 30) -> https://bit.ly/3IcZpWK
Igual repito, yo pasaría cuanto antes a derivadas (acá en la guía de UBA XXI en breve empiezan a aparecer unos límites horribles para resolver sin L'Hopital y no tienen nada que ver con el enfoque de los parciales de los últimos años)
1
Responder