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Análisis Matemático 66
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CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.9.
Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones.
d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{\frac{1}{4}} \sin(x)}{x+2} & \text { si } & x>0 \\ 0 \quad \text { si } & x \leq 0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{\frac{1}{4}} \sin(x)}{x+2} & \text { si } & x>0 \\ 0 \quad \text { si } & x \leq 0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
Respuesta
Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 0 \):
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Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \):
a) \( f(0) = 0 \)
b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $0$. En este caso es necesario abrir el límite por derecha y por izquierda:
\( \lim_{{x \to 0^-}} 0 = 0 \)
\( \lim_{{x \to 0^+}} \frac{x^{\frac{1}{4}} \sin(x)}{x+2} = 0 \) (el numerador tiende a 0, por cero x acotada, y el denominador tiende a 2)
Los limites laterales coinciden, por lo tanto el límite existe y vale $0$.
c) El límite cuando $x$ tiende a $0$ existe y vale lo mismo que $f(0)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=0$
Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en \( x_0 = 0 \):
Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(0)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte.
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \)
Tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
Para el límite por izquierda cuando \( h \to 0^- \):
\( \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{0 - 0}{h} = 0 \)
Para el límite por derecha cuando \( h \to 0^+ \):
\( \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{\frac{h^{\frac{1}{4}} \sin(h)}{h+2} - 0}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{\frac{1}{4}} \sin(h)}{(h+2)h} \)
Fijate que $\lim_{{h \to 0^+}} \frac{\sin(h)}{h} = 1$ y $\lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{1/4}}{h+2} = 0$
Por lo tanto:
$\lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^{\frac{1}{4}} \sin(h)}{(h+2)h} = 0$
Los límites por derecha y por izquierda coinciden y valen $0$, por lo tanto,
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 0 \)
Esto significa que $f$ es derivable en $x=0$ y $f'(0) = 0$
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Perdon por tantas preguntas (rindo el prox lunes ni se nota)
Te molesto porque, como no me sale natural la forma en que lo hiciste, me aferro)? intento ver si de la forma que me sale está correcta tambien 😊
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